如果f(x)对于x0≤x≤X和y0≤y≤Y是有穷的并且是连续的，z=x+iy，并令x=φ(t)，Y=ψ(t)，其中t取实值，那么积分

的值与函数φ(t)，ψ(t)的形式无关，也就是说与积分路径无关．

柯西借助于变分方法证明上述积分定理，其中要求函数f(x)的导数存在并连续，然而他在定理的陈述中却没有提到这一条件．柯西接下去考虑了f(z)在矩形区域内部或边界上成为无穷的情形．这时沿着两条不同路径的积分的值一般是不同的．他在各种假设下计算了它们之间的差．例如f(z)只在位于两条积分路径之间的一点z0=a+ib处成为无穷，并且以下极限

存在，即f在z0有一个单极点，他证明积分之间的差是±2πiF．柯西在1826年的一篇论文中称量F本身为积分留数．另外柯西还指出，当一个函数在两条积分路径之间有几个极点时，积分之差必须取留数之和．从1826年起，柯西发表了一系列有关留数计算的文章，并给出了留数的新的表达式．

柯西的积分理论是复分析的开山利斧，通过它可以导出与复函数的解析性相关的一系列本质结果．不过柯西本人当时并未深察其工作的复分析意义．直到1846年，他所关心的中心问题还是实积分及其值的计算．柯西观点的转变发生在1846年，他在这一年发表的两篇文章中把与路径无关的基本定理和留数定理分别推广到了任意闭曲线的情形．到1850年前后，柯西已开始认识到他的工作作为复变函数基本结果的重要性．

也就在这个时候，黎曼以题为《单复变函数一般理论基础》(1851)的论文在哥廷根大学获得博士学位．正如著名数学家阿尔福斯(L．V．Ahlfors)所说，这篇论文不仅包含了现代复变函数论主要部分的萌芽，而且开启了拓扑学的系统研究，革新了代数几何，并为黎曼自己的微分几何研究铺平了道路．就复变函数论而言，黎曼的论文以导数的存在性作为复函数概念的基础：“复变量w称为另一个变量的函数，如果其变化使得导数 的值与dz的值无关”．黎曼这里所说的“函数”即现代意义的解析函数．黎曼在论文中证明了在一区域内函数w=u(x，y)+iv(x，y)是变量z=x+iy的解析函数的充分必要条件是实函数u，v在该区域内连续可微，且满足方程：

如前所述，此方程早先已由欧拉、达朗贝尔等人引入，柯西在1814年讨论二重积分换序问题时也导出了同样的方程，并指出这两个方程“包含了由实到虚过渡的全部理论”．但只有黎曼才真正使这对方程成为复分析大厦的基石．黎曼的研究揭示出复函数与实函数之间的深刻区别．他的导数定义要求 的极限必须对于z+Δz趋向于z的一切途径都相同，这一条件事实上保证了在区域内具有一阶导数的函数同时具有一切高阶导数，而在实函数情形，即使一阶导数对所有的方向都存在，也不能保证高阶导数的存在．

黎曼这篇论文一个突出的特征是其中的几何观点．正是在这里，黎曼引入了一个全新的几何概念，即黎曼曲面．引入这种曲面的出发点在于对多值函数进行研究．黎曼面可以看作是由一些互相适当连接的重叠的平面构成．例如考察函数w2=z，对于每个z值，一般有w的两个值与之对应．为了研究这个函数并保持两个值集 和- (或者说函数w2=z的两个分支)分开，黎曼给每个分支引进一个z值平面，还在每个平面上引进一个点对应于z=∞，将这两个平面看成是一个位于另一个的上方，它们在两个分支给出相同w值的那些z值处，即z=0和z=∞处连接起来．这样w2=z的这两个平面(或称叶)就构成了黎曼面．因此，当z在黎曼面上变动时，w就变为z的一个单值函数．虽然黎曼面是一个几何概念，但它远非是直观的，我们也不可能在三维空间里准确地表示出黎曼面，为此，黎曼的观点还遭遇到了一些同时代人的反对．例如魏尔斯特拉斯就称黎曼面不过是一种“几何幻想物”．

魏尔斯特拉斯本人为复变函数论开辟了又一条研究途径．魏尔斯特拉斯的工作一向以严格著称，同样，他关于解析函数的工作也是以追求绝对的严格性为特征的．因此，魏尔斯特拉斯不仅拒绝使用柯西通过复积分所获得的结果(包括柯西积分定理和留数理论)，他也不能接受黎曼提出的那种几何“超验”方法．他相信函数论的原理必须建立在代数真理的基础上，所以他把目光投向了幂级数，用幂级数定义函数在一点邻域内的解析性，并演出整个解析函数理论．

用幂级数表示已用解析形式给出的复函数，这并不完全是一个新的创造．但是，从已知的一个在限定区域内定义某个函数的幂级数出发，根据幂级数的有关定理，推导出在其他区域中定义同一函数的另一些幂级数，这个问题是魏尔斯特拉斯解决的．上述过程也称为解析开拓，它在魏尔斯特拉斯的理论中起着基本的作用．使用这种方法，已知某个解析函数在一点处的幂级数，通过解析开拓，我们就可以完全得到这个解析函数．

在19世纪末，魏尔斯特拉斯的方法占据了主导地位，正是这种影响，使得“函数论”成为复变函数论的同义词．但是后来柯西和黎曼的思想被融合在一起，其严密性也得到了改进，而魏尔斯特拉斯的思想也逐渐能从柯西一黎曼观点推导出来．这样，上述三种传统便得到了统一．

复分析是研究复函数，特别是亚纯函数和复解析函数的数学理论。这些函数定义在复平面上，其值为复数，而且可微。研究中常用的理论、公式以及方法包括柯西积分定理、柯西积分公式、留数定理、洛朗级数展开等。复分析的应用领域较为广泛，在其它数学分支和物理学中也起着重要的作用。包括数论、应用数学、流体力学、热力学和电动力学。复函数的可微性有比实函数的可微性更强的性质。例如：每一个正则函数在其定义域中的每个开圆盘都可以幂级数来表示：

特别地，全纯函数都是无限次可微的，这性质对实可微函数而言普遍不成立。大部分初等函数（多项式、指数函数、三角函数）都是全纯函数。

全纯函数（holomorphic function）是定义在复平面C的开子集上的，在复平面C中取值的，在每点上皆复可微的函数。

柯西积分定理：如果全纯函数的闭合积分路径没有包括奇点，那么其积分值为0；如果包含奇点，则外部闭合路径正向积分的值等于包围这个奇点的内环上闭合路径的正向积分值。

亚纯函数：在复分析中，一个复平面的开子集D上的亚纯函数是一个在D上除一个或若干个孤立点集合之外的区域全纯的函数，那些孤立点称为该函数的极点。

洛朗级数：复变函数f(z)的洛朗级数，是幂级数的一种，它不仅包含了正数次数的项，也包含了负数次数的项。有时无法把函数表示为泰勒级数，但可以表示为洛朗级数。

留数：在复分析中，留数是一个复数，描述亚纯函数在奇点周围的路径积分的表现。在复分析中，留数定理是用来计算解析函数沿着闭曲线的路径积分的一个有力的工具，也可以用来计算实函数的积分。它是柯西积分定理和柯西积分公式的推广。